Question

已知圆C的圆心在直线y=-2x上，并且与直线x+y=1相切于点A（2，-1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）从圆C外一点M引圆C的切线MN，N为切点，且MN=MO（O为坐标原点），求MN的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）由题意可知所求圆的圆心在经过点A，且与直线x+y=1垂直的直线上，又所求圆的圆心在直线y=-2x上，解方程组求出圆心，求出半径，即AC的长，可得圆的方程；
（2）设M（x，y），由MN=MO，得2x-4y-3=0，化简MN=MO=

x2+y2

=

5(y+ 3 5 )2+ 9 20

，求出最小值和此时点M的坐标．

解答： 解：（1）与直线x+y=1相切于点A（2，-1）的圆的圆心在经过点A
且与直线x+y=1垂直的直线上，该直线的方程是x-y=3．
又所求圆的圆心在直线y=-2x上，解方程组

x-y-3=0 2x+y=0

得x=1，y=-2．
所以圆心C的坐标是（1，-2）．
因为|AC|=

(2-1)2+(-1+2)2

=

2

，
所以所求圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=2．
（2）设M（x，y），则MO=

x2+y2

，MN=

(x-1)2+(y+2)2-2

，
由MN=MO，得2x-4y-3=0，
MN=MO=

x2+y2

=

(2y+ 3 2 )2+y2

=

5y2+6y+ 9 4

=

5(y+ 3 5 )2+ 9 20

．
当y=-

3

5

时，MN=

3 5

10

．因此，MN的最小值为

3 5

10

．此时点M的坐标为(

3

10

，-

3

5

)．

点评：本题考查直线方程和圆的方程及应用，考查直线与圆的位置关系，主要是相切，切线长问题，属于中档题．