Question

10．已知长方形的对角线长为1，求长方体的最大的表面积，并求出这时长方体的各棱长．

Answer 1

分析 设长方体的各棱长分别为a，b，c，表面积为S，由长方形的对角线长为1，得到a²+b²+c²=1，从而S=2（ab+bc+cd）≤2（a²+b²+c²）=2，由此能求出结果．

解答 解：设长方体的各棱长分别为a，b，c，表面积为S，
∵长方形的对角线长为1，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=1，∴a²+b²+c²=1，
则有S=2（ab+bc+cd）≤2（a²+b²+c²）=2，
当且仅当a=b=c时，取等号，
这时a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴长方体的最大的表面积为2，
这时长方体的各条棱长均为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查长方体的最大表面积及其对应的各棱长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意长方体的性质的合理运用．