Question

15．如图，在四面体P-ABC，底面ABC是边长为1的正三角形，AB⊥BP，点P在底面ABC上的射影为H，BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，平面ACP与平面PBH所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求二面角C-AB-P的正切值．

Answer 1

分析 （1）过H作HD∥AB，推导出HB，HD，HP三直线两两垂直，分别以这三条直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA⊥BC．
（2）由AB⊥BH，AB⊥BP，知∠PBH为二面角C-AB-P的平面角，由此能求出二面角C-AB-P的正切值．

解答 证明：（1）过H作HD∥AB，PH⊥底面ABC，AB?平面ABC，∴PH⊥AB，即AB⊥PH，
又AB⊥BP，BP∩PH=P，
∴AB⊥平面PBH，
∴AB⊥BH，∴HD⊥BH，
∴HB，HD，HP三直线两两垂直，分别以这三条直线为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，则根据条件：
H（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），C（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{2}$，0），
设P（0，0，t），则$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$，t），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=\frac{\sqrt{3}}{6}x+\frac{1}{2}y+tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3t}$），
平面PBH的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵平面ACP与平面PBH所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+\frac{4}{3{t}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由t＞0，解得t=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$，
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}，-1，-\frac{2\sqrt{15}}{15}$），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0=0$，
∴PA⊥BC．
解：（2）∵AB⊥BH，AB⊥BP，
∴∠PBH为二面角C-AB-P的平面角，
∴tan∠PBH=$\frac{PH}{BH}$=$\frac{\frac{2\sqrt{15}}{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角C-AB-P的正切值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．