Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线y=kx+m（k＜0，m＞0）与y轴交于点P，与x轴交于点Q，与椭圆C交于M，N两点，若$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{3}{|PQ|}$，求直线y=kx+m过定点，并求出这个定点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意a=2，利用过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3，求出b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+m（k＜0，m＞0）与y轴交于点P（0，m），与x轴交于点Q（-$\frac{m}{k}$，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{3}{|PQ|}$，可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3k}{m}$，y=kx+m代入椭圆方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，
将M（c，y_M）代入椭圆方程可得y_M=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，∴b²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）证明：直线y=kx+m（k＜0，m＞0）与y轴交于点P（0，m），
与x轴交于点Q（-$\frac{m}{k}$，0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
|PM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$x₁，|PN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$x₂，|PQ|=-$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{m}{k}$，
∵$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{3}{|PQ|}$，∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{3k}{m}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3k}{m}$，
y=kx+m代入椭圆方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{-8km}{4{m}^{2}-12}$=-$\frac{3k}{m}$，
∵m＞0，∴m=3，
∴直线y=kx+m恒过定点，且为点（0，3）．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生析解决问题的能力，属于中档题..