Question

15．设G是△ABC的重心，P是该平面内-点，且满足$\overrightarrow{GP}$=3$\overrightarrow{GA}$+3$\overrightarrow{GB}$+2$\overrightarrow{GC}$，则△ABP与△ABC的面积之比是（　　）

• A． 1：2
• B． 1：3
• C． 1：4
• D． 1：5

Answer 1

分析 可作图：延长GA到A′，GB到B′，使得GA′=3GA，GB′=3GB，取A′B′的中点D′，连接GD′，设交AB的中点D，从而可以得到$3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=6\overrightarrow{GD}$，而$2\overrightarrow{GC}=-4\overrightarrow{GD}$，从而可以得到$\overrightarrow{GP}=2\overrightarrow{GD}$，这便由图得到P为DD′的中点，从而有DP：DC=1：3，从而可以得出△ABP与△ABC的面积之比．

解答 解：如图，延长GA到A′，使GA′=3GA，延长GB到B′，使GB′=3GB，取A′B′的中点D′，连接GD′交AB的中点D，则：
$\overrightarrow{GA′}=3\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB′}=3\overrightarrow{GB}$；
∴$3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA′}+\overrightarrow{GB′}=2\overrightarrow{GD′}$=$6\overrightarrow{GD}$；
又$\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GD}$；
∴$\overrightarrow{GP}=6\overrightarrow{GD}-4\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GD}$；
∴P为DD′的中点，连接PA，PB，则：
DP：DC=1：3；
∴△ABP与△ABC的面积之比是1：3．
故选：B．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，三角形重心的概念，三角形的面积公式．