Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{na_n}的前n项和为T_n，试比较

Tn

2

与Sn的大小．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=2λS_n+1知S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，由此可求出λ=1．
（2）由题意可知S_n+1=2•2^n-1，∴Sn=2ⁿ-1，由此可知a_n=2^n-1．
（3）由题意知T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，再写一式，相减由此可知Tn的值，再进行大小比较．

解答：解：（1）由S_n+1=2λS_n+1得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，∴a₃=S₃-S₂=4λ²，∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1．
（2）由S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（Sn+1），∴数列{S_n+1+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴S_n+1=2•2^n-1，∴Sn=2ⁿ-1，∴a_n=2^n-1．
（3）T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，①2T_n=1•2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②化简得T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．∴

Tn

2

=n•2^n-1-2^n-1+1，∴

Tn

2

-Sn =(n-3)×2n-1+

3

2

从而有n=1或2时，

Tn

2

＜Sn，n≥3时，

Tn

2

＞Sn

点评：本题考查构造法求等比数列的通项，考查了错位相减法，解题时要注意计算能力的培养．