Question

【题目】如图，在四棱锥中， 、、均为等边三角形， .

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意可得，结合筝形的性质可得，进一步证得，结合线面垂直的判断定理和性质可得平面，则.最后利用线面垂直的判断定理可得平面.

(Ⅱ)以为原点，建立空间直角坐标系，结合题意可得，平面的法向量为，据此计算可得与平面所成角的正弦值为.

试题解析：

(Ⅰ)因为， ， 为公共边，

所以，

所以，又，

所以，且为中点.

又，所以，

又，所以，结合，

可得，

所以，

即，又，

故平面，又平面，所以.

又，所以平面.

(Ⅱ)以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

不妨设，易得， ，

则， ， ， ，

所以， ， ，

设平面的法向量为，则

，即，解得，

令得，

设直线与平面所成角为，则

，

所以与平面所成角的正弦值为.