Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点与上顶点分别为，椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，若直线与该椭圆交于两点，直线的斜率互为相反数.

①求证：直线的斜率为定值；

②若点在第一象限，设与的面积分别为，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2) ①见解析，②

【解析】试题分析：（1）通过将点代入椭圆方程，结合离心率为计算即得结论；

（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通过设直线的方程为，则由题意直线的方程为，分别与椭圆方程联立，计算可知P、Q，利用斜率计算公式计算即可；②通过①可知P、Q，利用点P在第一象限可知，分别计算出点P、Q到直线AB的距离，利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．

试题解析：

（1）由题意，离心率，所以，所以，

故椭圆的方程为，将点代入，求得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）①设直线的方程为，则由题意直线的方程为，

由，得，

所以点的坐标为，

同理可求得点的坐标为.

所以直线的斜率为.

②设两点到直线的距离分别为，

因为点在第一象限，则点必在第三象限，

所以，且点分别在直线的上、下两侧，

所以，

从而，

，

所以，

令，

则，

当且仅当，即，即时， 有最大值为.