Question

【题目】已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且过点.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知斜率为的直线交轴于点，且与曲线相切于点，点在曲线上，且直线轴， 关于点的对称点为，判断点是否共线，并说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)设抛物线的标准方程为，结合抛物线过点可得抛物线的方程为.

(Ⅱ)设直线，联立直线方程与抛物线方程可得，由判别式等于零可得，即， ， ， ，整理计算可得点A的坐标为，由于，故点共线.

试题解析：

(Ⅰ)根据题意，可设抛物线的标准方程为，

所以，解得，

所以抛物线的方程为.

(Ⅱ)点共线，理由如下：

设直线，联立

得 (*)

由，解得，

则直线，得， ，

又关于点的对称点为，故，

此时，(*)可化为，解得，

故，即，

所以，即点共线.