Question

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) 略

解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，


∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴S_ABCD＝
．……………… 3分
则V＝．    ………………4分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC．           ………………6分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC．      ………8分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……9分
（Ⅲ）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB．  ……… 11分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB． ……… 13分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，
∴EC∥平面PAB．  ……… 14分
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点．        ……11分
∵E为PD中点，∴EC∥PN．……13分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，
∴EC∥平面PAB．  ……… 14分