Question

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD-AB=DB即可得到H．
（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α-β）=，再根据均值不等式可知当d===55时，tan（α-β）有最大值即α-β有最大值，得到答案．
解答：解：（1）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．
AD-AB=DB，故得-=，
得：H===124．
因此，算出的电视塔的高度H是124m．
（2）由题设知d=AB，得tanα=，tanβ===，
tan（α-β）====
d+≥2，（当且仅当d===55时，取等号）
故当d=55时，tan（α-β）最大．
因为0＜β＜α＜，则0＜α-β＜，所以当d=55时，α-β最大．
故所求的d是55m．
点评：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决．