Question

19．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点是F，点M（0，2），线段MF与C的交点是N，过N作C准线的垂线，垂足是Q，若∠MQF=90°，则p=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，由∠MQF=90°，|NF|=|NQ|，可得点N是Rt△MQF的中点，因此N$（\frac{p}{4}，0）$，|NQ|=$\frac{1}{2}|MF|$．解出即可．

解答 解：如图所示，
∵∠MQF=90°，|NF|=|NQ|，
∴点N是Rt△MQF的中点，
∴N$（\frac{p}{4}，0）$，|NQ|=$\frac{1}{2}|MF|$．
∴$\frac{p}{4}+\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{p}{2}）^{2}+{2}^{2}}$，
化为p²=2，
解得：p=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．