Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 且tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{1}{3}$，c=1
（1）求tan（B+C）的值
（2）求角A和a的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值．
（2）根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于-tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可求得A的值，再由tanB和tanC的值，得到B和C的范围及大小关系，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinB和sinC的值，由c的值，sinB和sinC的值，利用正弦定理即可求出a的值．

解答 解：（1）∵内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 且tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{1}{3}$，c=1
∴tan（B+C）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1…（3分）
（2）∵A=180°-B-C，…（4分）
所以tanA=tan（180°-（B+C））
=-tan（B+C）=-1．
∴A=$\frac{3π}{4}$．
因为tanB=$\frac{1}{2}$＞tanC=$\frac{1}{3}$＞0，
所以0°＜C＜B＜90°…（8分）
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，…（9分）
由c=1及$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$得：a=$\sqrt{5}$…（11分）

点评 此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意利用tanB和tanC的值确定出B和C的范围及大小．