Question

7．给定正奇数n（n≥5），数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一个排列，定义E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|为数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和．
（Ⅰ）当n=5时，求数列{a_n}：1，3，4，2，5的位差和；
（Ⅱ）若位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4，求满足条件的数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的个数；
（Ⅲ）若位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=$\frac{{{n^2}-1}}{2}$，求满足条件的数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a₁，a₃，a₄，a₂，a₅分别代入E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|进行解答即可；
（Ⅱ）分两种情况进行讨论：当a_i=i+1，a_i+1=i，a_j=j+1，a_j+1=j，且{a_i，a_i+1}∩{a_j，a_j+1}=∅，其他项a_k=k（其中k∉{i，i+1，j，j+1}）时和当a_i，a_i+1，a_i+2分别等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他项a_k=k（其中k∉{i，i+1，i+2}）；
（Ⅲ）此题实际上求位差和E（a₁，a₂，…，a_n）最大值为$\frac{{{n^2}-1}}{2}$，且给出取得最大值时，数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的情况．

解答 解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；
（II）若数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4，有如下两种情况：
情况一：当a_i=i+1，a_i+1=i，a_j=j+1，a_j+1=j，且{a_i，a_i+1}∩{a_j，a_j+1}=∅，其他项a_k=k（其中k∉{i，i+1，j，j+1}）时，有$（{n-3}）+（{n-4}）+…+2+1=\frac{{（{n-2}）（{n-3}）}}{2}$种可能；
情况二：当a_i，a_i+1，a_i+2分别等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他项a_k=k（其中k∉{i，i+1，i+2}）时，有3（n-2）种可能；
综上，满足条件的数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的个数为$\frac{{（{n-2}）（{n-3}）}}{2}+3（{n-2}）=\frac{{（{n-2}）（{n+3}）}}{2}$．
例如：n=5时，
情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；
情况二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；
形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；
形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4．
（III）将|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|去绝对值符号后，所得结果为±1±1±2±2±3±3±…±n±n
的形式，其中恰好有n个数前面为减号，这表明：
$E（{{a_1}，\;\;{a_2}，\;…，\;\;{a_n}}）=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-i|}$$≤2（{n+（{n-1}）+…+\frac{n+3}{2}}）+\frac{n+1}{2}-\frac{n+1}{2}-2（{\frac{n-1}{2}+…+2+1}）$
=$2（{（{n-\frac{n-1}{2}}）+（{n-1-\frac{n-3}{2}}）+…+（{\frac{n+3}{2}-1}）}）\frac$，
=$\frac{{{n^2}-1}}{2}$．
此不等式成立是因为前面为减号的n个数最小为：2个1，2个2，…，2个$\frac{n-1}{2}$和1个$\frac{n+1}{2}$．
上面的讨论表明，题中所求的数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n是使得E（a₁，a₂，…，a_n）最大的数列，这样的数列在n=2k+1时，要求从1，2，…，n中任选一个数作为
a_k+1，将剩余数中较大的k个数的排列作为a₁，a₂，…，a_k的对应值，较小的k个数的排列作为a_k+2，a_k+3，…，a_2k+1的对应值，
于是所求数列的个数为（2k+1）（k!）²．
综上，满足条件的数列的个数为$n{（{（{\frac{n-1}{2}}）!}）^2}$
例如：n=5时，
E（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅）=$\sum_{i=1}^5{|{a_i}-i|}$．≤2（5+4）+3-3+2（2+1）=2[（5-2）+（4-1）]=$2•\underbrace{（{5-\frac{5-1}{2}}）}_{每组之差}•\underbrace{（{\frac{5-1}{2}}）}_{组数}$=$2（{\frac{5+1}{2}}）（{\frac{5-1}{2}}）$=$\frac{{{5^2}-1}}{2}=12$
此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3．
若E（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅）=12，n=2k+1=5，此时k=2时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为a₃，将剩余数中较大的2个数的排列作为a₁，a₂的对应值，
较小的2个数的排列作为a₄，a₅的对应值，于是所求数列的个数为5•（2!）²=20．
4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；
4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；
4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；
3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；
3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1．

点评 本题考查了数列的应用．假设现在有n种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1，2，…，n，鉴别师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这n种物品进行排列依次编号为a₁，a₂，…，a_n，其中a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一个排列，那么可以用数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|，来评判鉴别师的能力．
当E（a₁，a₂，…，a_n）越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱；
当E（a₁，a₂，…，a_n）=0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确；
第二问，位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4时，给出数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的情况；
第三问，说明位差和E（a₁，a₂，…，a_n）最大值为$\frac{{{n^2}-1}}{2}$，且给出取得最大值时，数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的情况．