Question

 等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

C.

【解析】根据题意，得

∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，

∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，

∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，

∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，

因此，三棱锥C﹣HAM的体积V=S_△CMH×AM=S_△CMH由此可得，当S_△CMH达到最大值时，三棱锥C﹣HAM的体积最大

设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=AB=

可得CD=，BD=

Rt△ACD中，根据等积转换得CH==

Rt△ABD∽Rt△AHM，得，所以HM==

因此，S_△CMH=CH•HM==

∵4+2tan²θ≥4tanθ，

∴S_△CMH=≤=，

当且仅当tanθ=时，S_△CMH达到最大值，三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值．

∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0

∴结合sin²θ+cos²θ=1，解出cos²θ=，可得cosθ=（舍负）

由此可得CD==，

即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为

故选：C