题目内容
【题目】已知函数f(x)＝
(其中e是自然对数的底数，常数a＞0)．
(1)当a＝1时，求曲线在(0，f(0))处的切线方程；
(2)若存在实数x∈(a,2]，使得不等式f(x)≤e2成立，求a的取值范围．
【答案】（1）切线方程为
.（2）a的取值范围是(0,1].
【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程（2）先变量分离得
，再利用导数求函数
最大值，即得a的取值范围．
试题解析：(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}．
当a＝1时，f(x)＝
，f′(x)＝
，
∴f(0)＝－1，f′(0)＝－2.
∴曲线在(0，f(0))处的切线方程为
2x＋y＋1＝0.
(2)f′(x)＝
，
令f′(x)＝0，x＝a＋1，
∴f(x)在(－∞，a)，(a，a＋1)上递减，
在(a＋1，＋∞)上递增.6分
若存在x∈(a,2]，使不等式f(x)≤e2成立，只需在x∈(a,2]上，f(x)min≤e2成立．
①当a＋1≤2，即0＜a≤1时，f(x)min＝f(a＋1)＝ea＋1≤e2，
∴0＜a≤1符合条件.10分
②当a＋1＞2，即1＜a＜2时，
f(x)min＝f(2)＝
≤e2，解得a≤1，
又1＜a＜2，∴a∈.
综上，a的取值范围是(0,1].
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