Question

6．在正方体OADB-CA′D′B′中，点E是AB与OD的交点，M是OD′与CE的交点，
（1）试分别用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示向量$\overrightarrow{OD′}$和$\overrightarrow{OM}$；
（2）$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OK}$分别为$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$方向上的单位向量，试用$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OK}$表示$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知向量加法的三角形法则，及正方体的几何特征，可将向量$\overrightarrow{OD′}$和$\overrightarrow{OM}$用基底向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示；
（2）根据与$\overrightarrow{a}$同向的单位的向量表示为：$\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$，结合$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OK}$分别为$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$方向上的单位向量，可得答案．

解答 解：（1）由下图所示：正方体OADB-CA′D′B′中，点E是AB与OD的交点，M是OD′与CE的交点，

则$\overrightarrow{OD′}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD′}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$；
$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OD′}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$；
（2）∵$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OK}$分别为$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$方向上的单位向量，
∴$\overrightarrow{OA}$=|$\overrightarrow{OA}$|$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OK}$．

点评 本题考查的知识点是空间向量加法的三角形法则，空间向量的基本定理，难度不大，属于基础题．