Question

已知数列{a_n}满足：a₂=3，（n-1）a_n+1=na_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=（-1）ⁿ⁺¹

4n

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于（n-1）a_n+1=na_n-1，可得当n≥2时，

an+1

n

-

an

n-1

=

1

n

-

1

n-1

，利用“累加求和”即可得出，当n=1时单独求出．
（II）b_n=（-1）ⁿ⁺¹

4n

an•an+1

=（-1）ⁿ⁺¹

4n

(2n-1)(2n+1)

=(-1)n+1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)．对n分类讨论，利用“累加求和”即可得出．

解答： 解：（I）∵（n-1）a_n+1=na_n-1，
∴当n≥2时，

an+1

n

-

an

n-1

=

1

n

-

1

n-1

，
∴

an

n-1

=(

an

n-1

-

an-1

n-2

)+(

an-1

n-2

-

an-2

n-3

)+…+(

a3

2

-

a2

1

)+a₂
=(

1

n-1

-

1

n-2

)+(

1

n-2

-

1

n-3

)+…+(

1

2

-1)+3
=

1

n-1

+2，
∴a_n=2n-1．
当n=1时，可得0=a₁-1，解得a₁=1．上式也成立．
∴a_n=2n-1．
（II）b_n=（-1）ⁿ⁺¹

4n

an•an+1

=（-1）ⁿ⁺¹

4n

(2n-1)(2n+1)

=(-1)n+1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=(1+

1

3

)-(

1

3

+

1

5

)+(

1

5

+

1

7

)+…+(-1)n+1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)
当n=2k时，S_n=1-

1

2n+1

．
当n=2k-1时，S_n=1+

1

2n+1

．

点评：本题考查了利用“累加求和”求通项公式、分类讨论的思想方法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．