Question

已知点P（0，一2），椭圆c：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，若三角形PF₁F₂的面积为2，且a²，b²的等比中项为6

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上有A、B两点，使△PAB的重心为F₁，求直线AB的方程；
（3）在（2）的条件下，设M为椭圆上一动点，求△MAB的面积的最大值及此时点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）由三角形PF₁F₂的面积为2，及点P（0，一2）可得a，b的关系式，再利用a²，b²的等比中项为6

2

，故可求a，b；
（2）充分利用条件椭圆上有A、B两点，使△PAB的重心为F₁可求；
（3）由于AB线段的长度为定值，所以要使△MAB的面积的最大值，只需点线距离最大即可．

解答：解：（1）由三角形PF₁F₂的面积为2，及点P（0，一2），可得a²-b²=1（a＞b＞0），
∵a²，b²的等比中项为6

2

，
∴a²b²=72，∴a²=9，b²=8，∴

x2

9

+

y2

8

=1；
（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由椭圆上有A、B两点，使△PAB的重心为F₁，可得

x1+x2 3 =-1 y1+y2-2 3 =0

，
又

x12

9

+

y12

8

=1，

x22

9

+

y22

8

=1，两式相减得

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

9(y1+y2)

=

4

3

，
AB的中点为（-

3

2

，1），所以AB的方程为4x-3y+9=0．
（3）由（2）知，S△MAB=

1

2

AB×d的最大值为

3

4

30

+3

5

，此时点M的坐标为(

6

，-

2

3

6

)．

点评：本题考查了椭圆标准方程的求解，利用了待定系数法，求解直线方程则利用了设而不求法，要注意细细体会．