Question

已知点P（0，一2），椭圆c：（a＞b＞0），椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，若三角形PF₁F₂的面积为2，且a²，b²的等比中项为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上有A、B两点，使△PAB的重心为F₁，求直线AB的方程；
（3）在（2）的条件下，设M为椭圆上一动点，求△MAB的面积的最大值及此时点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形PF₁F₂的面积为2，及点P（0，一2）可得a，b的关系式，再利用a²，b²的等比中项为6，故可求a，b；
（2）充分利用条件椭圆上有A、B两点，使△PAB的重心为F₁可求；
（3）由于AB线段的长度为定值，所以要使△MAB的面积的最大值，只需点线距离最大即可．
解答：解：（1）由三角形PF₁F₂的面积为2，及点P（0，一2），可得a²-b²=1（a＞b＞0），
∵a²，b²的等比中项为6，
∴a²b²=72，∴a²=9，b²=8，∴；
（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由椭圆上有A、B两点，使△PAB的重心为F₁，可得，
又，，两式相减得，
AB的中点为（-，1），所以AB的方程为4x-3y+9=0．
（3）由（2）知，的最大值为，此时点M的坐标为．
点评：本题考查了椭圆标准方程的求解，利用了待定系数法，求解直线方程则利用了设而不求法，要注意细细体会．