Question

已知

a

=(1，cosx)，

b

=(sinx，-1)，函数f(x)=

a

•

b

 (x∈R)
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积公式求出f（x），据公式asinx+bcosx= 

a2+b2

 sin(x+θ)化简f（x）；令整体角在正弦的递增区间上，求出x的范围为f（x）的递增区间
（II）先求出整体角的范围，利用三角函数的单调性求出f（x）的最大值．

解答：解：（I）f(x)=

a

•

b

=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)．
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，得-

π

4

+2kπ≤x≤

3

4

π+2kπ(k∈Z)，
∴f（x）的单调递增区间是[-

π

4

+2kπ，

3

4

π+2kπ](k∈Z)．
（Ⅱ）f(x)=

2

sin(x-

π

4

)，
∵x∈[0，π]，∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴当x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

4

时，f(x)max=

2

．

点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角函数的公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)、考查求三角函数的单调性，最值，求对称性问题时常用整体角处理的方法．