Question

已知

a

=(sinα，cosα)，

b

=(cosβ，sinβ)，

b

+

c

=(2cosβ，0)，

a

•

b

=

1

2

，

a

•

c

=

1

3

．
（1）求cos2（α+β）+tanα•cotβ的值．（说明：cotβ=

cosβ

sinβ

）
（2）若0＜α+β＜

π

2

，

π

2

＜α-β＜π，求cos2α的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量减法运算先求出

c

向量的坐标，用条件中两组向量的数量积写出关于三角函数的关系式，利用二倍角公式和切化弦的思想，把要求的结果变为已知中出现的结论，代入数值得到结果．
（2）本题主要是角的变换问题，根据所给的角的三角函数值和角的范围，求出要用的角的三角函数值，根据2α=（α+β）+（α-β），以整体思想来处理角的问题．

解答：解：（1）由已知

c

=(

b

+

c

)-

b

=(2cosβ，0)-(cosβ，sinβ)=(cosβ，-sinβ)
∵

a

•

b

=

1

2

，

a

•

c

=

1

3

∴

sin(α+β)= 1 2 sin(α-β)= 1 3

∴

sinαcosβ= 5 12 cosαsinβ= 1 12

∴cos2(α+β)+tanα•cotβ=cos2(α+β)+

sinαcosβ

cosαsinβ

=1-(

1

2

)2×2+

5 12

1 12

=

11

2

（2）sin(α+β)=

1

2

，0＜α+β＜

π

2

，∴cos(α+β)=

3

2

sin(α-β)=

1

3

，

π

2

＜α-β＜π
∴cos(α-β)=-

2

3

2

∴cos2α=cos[(α+β)+cos(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-

1+2 6

6

点评：向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．