Question

（2013•徐州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=1，b=2，

CA

•

CB

=

1

2

．
（1）求边c的长；
（2）求cos（A-C）的值．

Answer 1

分析：（1）由

CA

•

CB

=

1

2

，结合已知条件及向量的数量积 的定义可求cosC，然后利用c²=a²+b²-2abcosC可求c
（2）由（1）中所求cosC，利用同角平方关系可求sinC，然后结合正弦定理sinA=

asinC

c

及三角形的大边对大角可判断A为锐角，进而可求cosA=

1-sin2A

，最后代入cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC可求

解答：解：（1）由

CA

•

CB

=

1

2

，得abcosC=

1

2

．…（2分）
因为a=1，b=2，所以cosC=

1

4

，…（4分）
所以c²=a²+b²-2abcosC=4，
所以c=2．…（7分）
（2）因为cosC=

1

4

，C∈（0，π），
所以sinC=

1-cos2C

=

15

4

，…（9分）
所以sinA=

asinC

c

=

15 4

2

=

15

8

，…（11分）
因为a＜c，所以A＜C，故A为锐角，所以cosA=

1-sin2A

=

7

8

所以cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC
=

7

8

×

1

4

+

15

8

×

15

4

=

11

16

…（14分）

点评：本题主要考查了同角平方关系、正弦定理及余弦定理、和差角公式的综合应用，解题的关键是公式的熟练掌握