Question

若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则log₂^x+log₂^y的最小值是

log₂¹⁸

．

Answer 1

分析：由条件知右边是xy的形式左边是2x+y和常数的和的形式，利用基本不等式a+b≥2

ab

化简后，转化后变成关于xy的不等式，把xy看成整体换元后求最小值，再由对数的运算和性质求出最小值．

解答：解：由条件利用基本不等式可得，
xy=2x+y+6≥2

2xy

+6（当且即当2x=y时取等号），
令xy=t²，即 t=

xy

＞0，可得t2-2

2

t-6≥0，
∴(t-3

2

)(t+

2

)≥0，解得t≥3

2

或t≤-

2

（舍去），
∴

xy

≥3

2

，得xy≥18，
∴log₂^x+log₂^y=

log

(xy) 2

≥

log

18 2

，
故答案为：

log

18 2

．

点评：本题主要考查了对数的运算和对数函数的性质应用，以及用基本不等式a+b≥2

ab

决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法．