Question

已知函数
(I)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(II)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;
(III)是否存在实数a,对任意的x₁,x₂(0,+∞),且x₁≠x₂,都有恒成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

Answer 1

(I)-2ln2
(II)当时，和为单调增区间，为单调减区间；当a=-2时，为单调增区间；当a<-2时，和为单调增区间，为单调减区间.
(III)存在.

试题分析：(I) 首先确定函数的定义域，然后求导，根据函数导函数的性质，确定函数的单调区间，判断极小值就是最小值，求出即可. (II) 求导、同分整理得.再分当或当a=-2或a<-2时，判断的符号，确定函数单调区间即可. (III) 假设存在实数a使得对任意的，且，都有恒成立. 不妨设，使得，即，构造函数令，利用导函数求出满足函数g（x）在为增函数的a取值范围即可.
试题解析：解：(I)定义域为，当a=1时，，所以当时，，，所以f（x）在x=2时取得最小值，其最小值为.
(II) 因为，所以
（1）当时，若，，f（x）为增函数；时，，f（x）为减函数；时， ，f（x）为增函数；
（2）当a=-2时，，f（x）为增函数；
（3）当a<-2时，时， ，f（x）为增函数；时,，f（x）为减函数；, ，f（x）为增函数；
(III)假设存在实数a使得对任意的，且，都有恒成立，不妨设，使得，即，
令，只要g（x）在为增函数，考察函数，要使在恒成立.只需，即，故存在实数符合题意.