Question

（14分）已知函数f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）．

（Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞﹣ln2．

Answer 1

（Ⅰ），函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

（Ⅱ）详见解析：

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）首先由函数的解析式求出其导数，根据题意有，解此方程可得的值，从而确定函数的导数的表达式，再利用导数的符号判断函数的单调性；

（Ⅱ）时，恒成立，取函数

于是当 时，可得： ，问题得证.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
∵f（x）=ex﹣m﹣ln（2x），

∴f′（x）=ex﹣m﹣，

由x=1是函数f（x）的极值点得f′（1）=0，

即e1﹣m﹣1=0，∴m=1． （2分）

于是f（x）=ex﹣1﹣ln（2x），f′（x）=ex﹣1﹣，

由f″（x）=ex﹣1+＞0知 f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且f′（1）=0，

∴x=1是f′（x）=0的唯一零点． （4分）

因此，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；

x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，

∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． （6分）

（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（0，+∞）时，ex﹣m≥ex﹣2，

又ex≥x+1，∴ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1． （8分）

取函数h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），h′（x）=1﹣，

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，得函数h（x）在x=1时取唯一的极小值即最小值为h（1）=﹣ln2． （12分）

∴f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）≥ex﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，

而上式三个不等号不能同时成立，故f（x）＞﹣ln2．（14分）

考点：导数在研究函数性质中的应用综合问题.