为了对2016年某校中考成绩进行分析.在60分以上的全体同学中随机抽出8位.他们的数学分数从小到大排是60.65.70.75.80.85.90.95.物理分数从小到大排是72.77.80.84.88.90.93.95．(1)若规定85分以上为优秀.求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率,(2)若这8位同学的数学.物理.化学分数事实上对应如下表:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95
化学分数z	67	72	76	80	84	87	90	92

①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．
参考公式：相关系数$r=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}•\sum_{i=1}^n{{{（{{y_i}-\overline y}）}^2}}}}$，
回归直线方程是：$\hat y=bx+a$，其中$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$，
参考数据：$\overline x=77.5，\overline y=85，\overline z=81，\sum_{i=1}^8{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}≈1050，\sum_{i=1}^8{{{（{{y_i}-\overline y}）}^2}≈456}}$，$\sum_{i=1}^8{{{（{{z_i}-\overline z}）}^2}}≈550，\sum_{i=1}^8{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）≈688}$，$\sum_{i=1}^8{（{{x_i}-\overline x}）（{{z_i}-\overline z}）≈755}，\sqrt{1050}≈32.4$，$\sqrt{456}≈21.4，\sqrt{550}≈23.5$．

分析（1）求出从这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的基本事件数，
以及这8位同学的物理分数和数学分数分别对应基本事件数，计算所求的概率值；
（2）①变量y与x、z与x的相关系数，得出物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关；
②求出y与x、z与x的线性回归方程，由此计算x=50时y与z的值即可．

解答解：（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，
则需要先从物理4 个优秀分数中选出3个与数学分数对应，
不同的种数是${C}_{4}^{3}$${A}_{3}^{3}$（或${A}_{4}^{3}$），
然后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，不同的种数是$A_5^5$；
根据乘法原理，满足条件的不同种数是$C_4^3A_3^3A_5^5$；
这8位同学的物理分数和数学分数分别对应种数共有$A_8^8$，
故所求的概率为$P=\frac{C_4^3A_3^3A_5^5}{A_8^8}=\frac{1}{14}$；
（2）①变量y与x、z与x的相关系数分别是
$r=\frac{688}{32.4×21.4}≈0.99、r'=\frac{755}{32.4×23.5}≈0.99$，
可以看出：物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关；
②设y与x、z与x的线性回归方程分别是$\hat y=bx+a、\hat z=b'x+a'$，
根据所给的数据，计算出
$b=\frac{688}{1050}=0.66，a=85-0.66×77.5=33.85$，
$b'=\frac{755}{1050}=0.72，a'=81-0.72×77.5=25.20$，
所以y与x、z与x的回归方程分别是
$\hat y=0.66x+33.85$、$\hat z=0.72x+25.20…$，
当x=50时，$\hat y=66.85，\hat z=61.2$，
∴当该生的数学为50分时，其物理、化学成绩分别约为66.85分、61.2分．