Question

15．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为N，过点F作直线与此抛物线交于A、B两点，若$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}$=0，且|$\overrightarrow{AF}$|-|$\overrightarrow{BF}$|=4，则p的值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 假设k存在，设AB方程为：y=k（x-$\frac{p}{2}$），代入椭圆方程，可得根与系数的关系，由∠NBA=90°，可得|AF|-|BF|=（x₂+$\frac{p}{2}$）-（x₁+$\frac{p}{2}$）=2p，再利用焦点弦长公式即可求得p的值．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
设两交点为A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
假设k存在，设AB方程为：y=k（x-$\frac{p}{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得k²x²-（k²+2）px+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
∵$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}$=0，则∠NBA=90°，∴（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₁+$\frac{p}{2}$）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴x₁²+2px₁-$\frac{{p}^{2}}{4}$=0（x₁＞0），∴x₁=$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$p，
∵x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴x₂=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$，
∴|AF|-|BF|=（x₂+$\frac{p}{2}$）-（x₁+$\frac{p}{2}$）=2p，
即2p=4，则p=2，
故选A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．