Question

11．设f（x）=x²+px+q，集合A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）若q=1且A≠∅，求实数p的取值范围；
（2）若A={-1，3}，求B．

Answer 1

分析 （1）若q=1且A≠∅，则x²+（p-1）x+1=0，利用△=（p-1）²-4≥0得到结论；
（2）由A={x|f（x）=x}={x|x²+px+q=x}={x|x²+（p-1）x+q=0}={-1，3}，结合方程根与系数关系可求p，q，进而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求．

解答 解：（1）若q=1且A≠∅，则x²+（p-1）x+1=0，
△=（p-1）²-4≥0，∴p≤-1或p≥3；
（2）∵A={x|f（x）=x}={x|x²+px+q=x}={x|x²+（p-1）x+q=0}={-1，3}
∴-1，3是方程x²+（p-1）x+q=0的根
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-p=2}\\{q=-3}\end{array}\right.$，即p=-1，q=-3，f（x）=x²-x-3
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x²-x-3）=x}={x|（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x}
化简可得，（x²-x-3）²-x²=0
∴（x²-3）（x²-2x-3）=0
∴x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$或x=3或x=-1
∴B={$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-1，3}．

点评 本题主要考查了二次函数与二次方程之间关系的相互转化，方程的根与系数关系的应用．