Question

如图，在三棱柱的侧棱A₁A和B₁B上各有一动点P，Q，且满足A₁P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其上下体积之比为

 

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Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：由已知中A₁P=BQ，我们可得四边形PQBA与四边形PQB₁A₁的面积相等，等于侧面ABPQB₁A₁的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱椎C-PQBA的体积转化三棱锥C-ABA₁的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的

1

3

，求出四棱椎C-PQBA的体积，进而得到答案．

解答： 解：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V，
∵侧棱AA₁和BB₁上各有一动点P，Q满足A₁P=BQ，
∴四边形PQBA与四边形PQB₁A₁的面积相等，
故四棱椎C-PQBA的体积等于三棱锥C-ABA₁的体积等于

1

3

V，
则几何体CPQ-C₁B₁A₁的体积等于

2

3

V，
故过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2：1，
故答案为：2：1

点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中根据四边形PQBA与四边形PQB₁A₁的面积相等，等于侧面ABPQB₁A₁的面积的一半，将四棱椎C-PQBA的体积转化三棱锥C-ABA₁的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的

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3

，求出上下两部分的体积，是解答本题的关键．