Question

外国油轮（简称外轮）除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域．如图所示，我国某海岛是由半径为10海里的一段圆弧

ABC

（

3

4

圆周）和线段AC所围的区域（A、B、C分别位于圆心O的正西、正东和正北位置）．在A、B设有两个观察点，现发现在P点处停有一外轮，并测得∠BAP=30°，∠ABP=120°．
（1）该外轮是否已进入我国领海主权范围内？
（2）该外轮因故障向我方求助，我方停泊在A处的求助船紧急起航，首先沿正北方向AN行驶一段至点M位置，再从M（“拐点”）向右拐头沿直线MP前往出事点，记“拐角”∠NMP的大小为θ．由于水域的原因，救助船沿AN方向的行船最大速度是MP方向行船最大速度的λ倍．试确定cosθ的值，使我方救助船到达P点的时间最短．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）连接OP，根据已知条件求得∠APB，求得OP，跟22比较大小即可．
（2）作PQ⊥AN于Q，PS⊥AB于S，确定∠NMP=θ，设MP方向的船速为V，表示出我救助船全速到达P点共所需时间，令T′（θ）=0求得cosθ，利用导函数与0的比较确定此时cosθ最小值，另一方面，延长PC与AN交于M₀，须QM₀≥QM救助船才能沿直线MP航行根据cosθ≤cos∠QM₀P，求得λ的范围，最后综合求得cosθ．

解答： 解：（1）连接OP，因∠BAP=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=30°．
在△PBO中，OP²=10²+20²-2×10×20cos120°=700OP²＞（10+12）²，即OP＞22，故该外轮未进入我领海主权范围内．
（2）作PQ⊥AN于Q，PS⊥AB于S，则AQ=SP=10

3

，PQ=30，
因∠NAP=60°，∠NMP=θ，首先应有θ＞60°，PM=

30

sinθ

，AM=10

3

-

30cosθ

sinθ

，
设MP方向的船速为V，则我救助船全速到达P点共所需时间为T(θ)=

1

λV

(10

3

-

30cosθ

sinθ

)+

1

V

•

30

sinθ

=

10 3

λV

+

30

λV

×

λ-cosθ

sinθ

，
T′(θ)=

30

λV

×

1-λcosθ

sin2θ

，令T′（θ）=0得cosθ=

1

λ

，设使cosθ=

1

λ

的锐角为θ_λ，在当θ∈（60°，θ_λ）时，T'（θ）＜0，当θ∈（θ_λ，90°）时，T'（θ）＞0；T（θ）在（60°，θ_λ）上递减，在（θ_λ，90°）上递增，
所以当cosθ=

1

λ

时，T（θ）取得最小值．
另一方面，延长PC与AN交于M₀，须QM₀≥QM救助船才能沿直线MP航行，cosθ≤cos∠QM0P=

10 3 -10

(10 3 -10)2+202

=

3 -1

8-2 3

，
由

1

λ

≤

3 -1

8-2 3

解得λ≥

5+2 3

，此时θ_λ≥∠QM₀P，而当λ＜

5+2 3

时，θ_λ＜∠QM₀P，
由T（θ）的单调性知θ取∠QM₀P时，T（θ）最小．
综上可知，为使到达P点时间最短，当λ≥

5+2 3

时，救助船选择的拐角θ应满足cosθ=

1

λ

；当λ＜

5+2 3

时，救助船应在M₀处拐头直朝P点航行，此时cosθ=

3 -1

8-2 3

．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析推理和解决实际问题的能力．