题目内容

已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点，P为椭圆上一点且
PF1
•
PF2
=c2，则此椭圆离心率的取值范围是
 
．
分析：先由椭圆的定义得：PF1+PF2=2a平方得：|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=4a2，由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2=F1F22=4c2结合题中向量条件得到：cos∠F1PF2=
c 2
2a 2-3c 2
和|PF1|•|PF2|=2a2-3c2，最后利用三角函数的性质及基本不等式即可求得此椭圆离心率的取值范围．
解答：解：由椭圆的定义得：
PF1+PF2=2a
平方得：|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=4a2．①
又∵
PF1
•
PF2
=c2，
∴|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2=c2，②
由余弦定理得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2=F1F22=4c2，③
由①②③得：cos∠F1PF2=
c 2
2a 2-3c 2
≤1?
2
c≤a?e≤
2
2

|PF1|•|PF2|=2a2-3c2，又|PF1|•|PF2|≤(
|PF1|+|PF2|
2
)2=a 2
∴2a2-3c2≤a2?a2≤3c2?e≥
3
3

则此椭圆离心率的取值范围是：[
3
3
，
2
2
]
故答案为：[
3
3
，
2
2
]．
点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的简单性质．考查对基础知识的综合运用．解答关键是利用三角形中的余弦定理、椭圆的定义等构造关系式，结合基本不等式求解．
练习册系列答案
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已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点，P为椭圆上一点且
PF1
•
PF2
=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）
A、[
3
3
，1)
B、[
1
3
，
1
2
]
C、[
3
3
，
2
2
]
D、(0，
2
2
]
已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为θ的动直线l交椭圆于A，B两点．当θ=
π
4
时，
AF1
=(2-
3
)
F1B
，且|AB|=3．
（1）求椭圆的离心率及椭圆的标准方程；
（2）求△ABF2面积的最大值，并求出使面积达到最大值时直线l的方程．
已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1作倾斜角为60° 的直线l交椭圆于A，B两点，ABF2的内切圆的半径为
2
3
7
c
（I）求椭圆的离心率；   
（II）若|AB|=8
2
，求椭圆的标准方程．
（2013•东城区一模）已知F1（-c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2=c2的一个交点为P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C1的离心率为（　　）
已知F1（-c，0），F2（c，0） （c＞0）是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，圆M的方程是(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16
．
（1）若P是圆M上的任意一点，求证：
|PF1|
|PF2|
是定值；
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F1QF2=
3
5
，求椭圆的离心率；
（3）在（2）的条件下，若|OQ|=
34
2
，求椭圆的方程．

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