Question

4．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P在大圆上，PA与小圆相切于点A，Q为小圆上的点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PQ}$的取值范围是[3-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 建立适当的平面直角坐标系，设Q（cosα，sinα），A（0，-1），取P（-$\sqrt{3}$，-1），
利用平面向量的坐标表示求数量积，根据三角函数的有界性求出它的取值范围．

解答 解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设Q（cosα，sinα），A（0，-1），
则P（±$\sqrt{3}$，-1），不妨取P（-$\sqrt{3}$，-1），
则$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PQ}$=（cosα+$\sqrt{3}$，sinα+1），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$=$\sqrt{3}$（cosα+$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$cosα+3；
又cosα∈[-1，1]，
∴3-$\sqrt{3}$≤$\sqrt{3}$cosα+3≤3+$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PQ}$的取值范围是[3-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$]．
故答案为：[3-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及数形结合的数学思想，是基础题．