Question

2．已知函数f（x）=|x-4m|+|x+$\frac{1}{m}$|（m＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥4；
（Ⅱ）若k为f（x）的最小值，且a+b=k（a＞0，b＞0），求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义直接证明：f（x）≥4；
（Ⅱ）利用（1）的结果，利用基本不等式转化求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：$f（x）=|x-4m|+|x+\frac{1}{m}|≥|4m+\frac{1}{m}|=4|m|+|\frac{1}{m}|≥4$，
当且仅当$|m|=\frac{1}{2}$时取“=”号．
（Ⅱ）解：由题意知，k=4，即a+b=4，即$\frac{a}{4}+\frac{b}{4}=1$，
则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）（\frac{a}{4}+\frac{b}{4}）=\frac{5}{4}+\frac{b}{4a}+\frac{a}{b}≥\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}$，
当且仅当$a=\frac{4}{3}$，$b=\frac{8}{3}$时取“=”号．

点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，不等式的证明，考查计算能力．