Question

14．社区服务是综合实践活动课程的重要内容．上海市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于80小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于80小时的概率；
（Ⅱ）从全市高中学生中任意选取3位学生，记ξ为3名学生中参加社区服务时间不少于80小时的人数，试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ和方差Dξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于80小时的学生人数为80人，由此能求出从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于80小时的概率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于80小时的概率为$\frac{2}{5}$，由已知得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ和方差Dξ．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务在时间段[80，85）的学生人数为200×0.06×5=60（人），
参加社区服务在时间段[85，90）的学生人数为200×0.02×5=20（人），
∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于80小时的学生人数为80人，
∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于80小时的概率为：
p=$\frac{80}{200}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于80小时的概率为$\frac{2}{5}$，
由已知得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）=\frac{36}{125}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}（\frac{3}{5}）^{0}$=$\frac{8}{125}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∵ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），
∴Eξ=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，
Dξ=$3×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{18}{25}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．