Question

【题目】设命题：对任意的， 恒成立，其中．

（1）若，求证：命题为真命题．

（2）若命题为真命题，求的所有值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）， 的值均唯一，分别为1，0．

【解析】试题分析：（1）若a=1，b=0，则命题p：对任意的， 恒成立．构造函数， ， ， ．求导可证明.

（2）若命题为真命题，则当时， ，所以，对a分, 讨论，可得满足条件的a值．

试题解析：（1）当时，命题：对任意的， 恒成立．

①记， ．

则，所以为上的单调增函数．

所以，即任意的， ．

②记， ．

则，故为上的单调增函数．

所以，即任意的， ．

所以，命题为真命题．

（2）若命题为真命题，则当时， ，所以．

此时，对任意的， 恒成立．（＊）

若，记， ．

则在上有唯一解，记为．

当时， ，所以为上的单调减函数．

故， ，即，与（＊）矛盾，舍．

若，记， ．

则在上有唯一解，记为．

当时， ，所以为上的单调减函数．

故， ，即，与（＊）矛盾，舍．

从而，所以， 的值均唯一，分别为1，0．