Question

【题目】已知函数 ，其导函数为.

（1）设，若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围；

（2）设，且，点是曲线上的一个定点，是否存在实数，使得成立？证明你的结论

Answer 1

【答案】（1）或（2）不存在实数，使得成立.

【解析】试题分析：（1）求得的解析式，令 ，可得，设，求得的导数和单调区间、极值；结合零点个数只有一个，即可得到的范围；（2）假设存在实数，使得成立，求得的导数，化简整理可得，考虑函数的图象与的图象关于直线对称，上式可转化为，设 ，上式即为，令，求出导数，判断单调性即可判断不存在.

试题解析：（1）当时， 由题意只有一解.

由得令则令得或

当时， 单调递减， 的取值范围为

当时， 单调递增， 的取值范围为

当时， 单调递减， 的取值范围为

由题意，得或，从而或，

所以，当或时，函数只有一个零点.

（2）

假设存在，则有

即

不妨设，则，两边同除，得

令

令

在上单调递增

对恒成立，

在上单调递增

又对恒成立，即（*）式不成立，

不存在实数，使得成立.