Question

18.如图，A₁、A为椭圆的两个顶点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点.

（Ⅰ）写出椭圆的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过线段OA上异于O、A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P、P₁两点，直线A₁P与AP₁交于点M.

求证：点M在双曲线－=1上.

Answer 1

18.（Ⅰ）解：由图可知，a=5，c=4，所以b==3.

该椭圆的方程为+=1，准线方程为x=±.

 

（Ⅱ）证明：设K点坐标为（x₀，0）.点P、P₁的坐标分别记为（x₀，y₀），（x₀，－y₀），

 

其中0<x₀<5，则+=1                       ①

 

直线A₁P、P₁A的方程分别为：

 

（x₀+5）y=y₀（x+5），                                                      ②

 

（5－x₀）y=y₀（x－5）.                                                    ③

 

②式除以③式得=.

 

化简上式得x=，代入②式得y=.

 

于是，直线A₁P与AP₁的交点M的坐标为（，）.

 

因为（）²－（）²=－（1－）=1，

 

 

所以，直线A₁P与AP₁的交点M在双曲线－=1上.