Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与（1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离之和s≥

4

5

c，则e的取值范围是

[

5

2

，

5

]

．

Answer 1

分析：首先将直线

x

a

-

y

b

=1化成一般式的形式：bx-ay-ab=0，再利用点到直线的距离公式分别求出点（-1，0）与（1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离，再解这两个距离的和大于或等于

4

5

c，可得不等式

2

5

c2≤ab，将此式平方，再利用平方关系将b²=c²-a²代入所得不等式，解之可得离心率e的取值范围．

解答：解：将直线

x

a

-

y

b

=1化成一般式的形式：bx-ay-ab=0
∴点（-1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离为d₁=

|-b-ab|

b2+(-a)2

=

|ab+b|

a2+b2

点1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离为d₂=

|b-ab|

b2+(-a)2

=

|ab-b|

a2+b2

∵双曲线中c²=a²+b²，且a＞1
∴d₁=

|ab+b|

a2+b2

=

ab+b

c

，d₂=

|ab-b|

a2+b2

=

ab-b

c

∵点（-1，0）与（1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离之和s≥

4

5

c，
∴s=d₁+d₂=

ab+b

c

+

ab-b

c

=

2ab

c

≥

4

5

c
∴

2

5

c2≤ab⇒

4

25

c4≤a2b2
将b²=c²-a²代入上式，得

4

25

c4≤a2(c2-a2)
整理，得4c⁴-25a²c²+25a⁴≤0
两边都除以a⁴，得4(

c

a

)4-25(

c

a

)2+25≤ 0
即4e⁴-25e²+25≤0⇒（4e²-5）（e²-5）≤0
∴

5

2

≤e2≤

5

⇒离心率e∈[

5

2

，

5

]
故答案为：[

5

2

，

5

]

点评：本题以求双曲线离心率的范围为例，着重考查了双曲线的基本概念和一些简单性质，考查了点到直线距离公式和不等式的解法，属于中档题．