题目内容
【题目】已知函数
在
处的切线为
.
(1)求
的解析式.
(2)若对任意
，有
成立，求实数
的取值范围.
(3)证明：对任意
成立.
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）先讨论
和
两种特殊情况，再对于
时，作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；（3）借助（2）的结论，合理构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值进行求解.
试题解析：（1）由
得
，所以切线为y=ex，
由切点为（1，e+b）在切线y=ex上， b=0,所以
（2）当时，对于
，
显然不恒成立
当时，
显然成立
当时，若要
恒成立，必有
设
则
易知
在
上单调递减，在
上单调递增,则
若恒成立，即
，得
综上得
（3）证法1：由（1）知
成立，构造函数
所以
有
成立（当
时取等号）。由（1）知成立（当
时取等号），
所以有
成立，即对任意
成立
证法2，因为
，所以要证，只须证
令
令
所以在（0，+
）递增，
由于
所以存在
有
，则
，
即
得
得
所以
所以
成立，即成立
即对任意成立
【题目】计划在某水库建一座至多安装
台发电机的水电站，过去
年的水文资料显示，水库年入流量
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，不足
的年份有
年，不低于
且不超过
的年份有
年，超过
的年份有
年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来
年中，设
表示流量超过
的年数，求
的分布列及期望；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，并有如下关系：
年入流量 |
|
|
|
发电机最多可运行台数 |
|
|
|
若某台发电机运行，则该台年利润为
万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损
万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【题目】某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y（万盒） | 4 | 4 | 5 | 6 | 6 |
（1）该同学为了求出
关于
的线性回归方程
，根据表中数据已经正确计算出
=0.6，试求出
的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
