Question

14．如图，四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E、F分别是SC、SD的中点，$SA=AD=2，AB=\sqrt{6}$，
（1）求证：SD⊥平面AEF；
（2）求三棱锥F-AED的体积．

Answer 1

分析 （1）由SA⊥平面ABCD可得SA⊥CD，又CD⊥AD，从而得出CD⊥平面SAD，于是CD⊥SD，由中位线定理得CD∥EF，故EF⊥SD，由三角形三线合一得AF⊥SD，故而SD⊥平面AEF；
（2）V_F-AED=V_E-ADF=$\frac{1}{3}{S}_{△ADF}•\frac{1}{2}CD$．

解答 证明：（1）∵SA=AD，F为SD的中点，
∴SD⊥AF，
∵E，F是SC，SD的中点，
∴EF∥CD，
∵SA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥SA．
又∵CD⊥AD，SA?平面SAD，AD?平面SAD，SA∩AD=A，
∴CD⊥平面SAD，∵SD?平面SAD，
∴CD⊥SD，
∴EF⊥SD，
∵AF?平面AEF，EF?平面AEF，AF∩EF=F，
∴SD⊥平面AEF．
（2）∵F是SD的中点，
∴S_ADF=$\frac{1}{2}{S}_{△SAD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2$=1，
∵E为SC的中点，
∴E到平面SAD的距离h=$\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴V_F-AED=V_E-ADF=$\frac{1}{3}{S}_{△ADF}•\frac{1}{2}CD$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．