Question

9．已知三棱柱ABC-A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，E、F分别在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．
（1）求证：BB′⊥底面ABC；
（2）在棱A′B′上是否存在一点M，使得C′M∥平面BEF，若存在，求$\frac{{{A^/}M}}{{M{B^/}}}$值，若不存在，说明理由；
（3）求棱锥A′-BEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点O，先证AO⊥BC，再由面面垂直的性质定理证得AO⊥面BCC'B'，再由线面垂直的判定定理即可得证；
（2）显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，可通过线面平行的判断定理，即可证得；
（3）利用等体积转化，即可求棱锥A′-BEF的体积．

解答 （1）证明：取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，
又因为平面BCC′B′⊥底面ABC，AO?平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC=BC，
所以AO⊥平面BCC′B′，
又BB′?平面BCC′B，所以AO⊥BB′．
又BB′⊥AC，AO∩AC=A，AO?平面ABC，AC?平面ABC．
所以BB′⊥底面ABC．…（4分）
（2）解：显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，
过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥CF，即C′M和FN共面，
所以C′M∥FN，
所以四边形C′MNF为平行四边形，所以MN=2，
所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．即$\frac{{{A^/}M}}{{M{B^/}}}=1$…（8分）
（3）解：${V_{{A^/}-BEF}}={V_{B-{A^/}EF}}=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×2）×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面平行和垂直的判定和性质，面面垂直的性质定理，以及三棱锥体积的计算，考查逻辑推理能力，属于中档题．