Question

1．已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是（0，4$\sqrt{3}}$]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． π或$\sqrt{3π}$
• C． $\sqrt{3π}$
• D． π

Answer 1

分析 根据当圆锥的轴截面顶角不小于90°时，过顶点的截面面积的最大值为$\frac{1}{2}$l²；判断圆锥的轴截面的顶角小于90°，利用$\frac{1}{2}$×2r×$\sqrt{{4}^{2}-{r}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，求出r，根据侧面展开图扇形圆心角θ=$\frac{r}{l}$•2π求θ

解答 解：∵圆锥的轴截面顶角不小于90°时，过顶点的截面面积的最大值为$\frac{1}{2}$×4×4=8＞4$\sqrt{3}$，
∴圆锥的轴截面为锐角三角形，
∴过顶点的截面三角形中面积最大为轴截面面积，
则$\frac{1}{2}$×2r×$\sqrt{{4}^{2}-{r}^{2}}$=4$\sqrt{3}$（r为圆锥底面半径），
解得r=2或r=2$\sqrt{3}$（舍去）．
∴侧面展开图扇形圆心角θ=$\frac{r}{l}$•2π=$\frac{2}{4}$•2π=π．
∴该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于π．
故选：D．

点评 本题考查了过圆锥的顶点的截面面积问题，考查了圆锥侧面展开图的圆心角公式，当圆锥的轴截面顶角不小于90°时，过顶点的截面面积的最大值为$\frac{1}{2}$l²；当圆锥的轴截面顶角小于90°时，过顶点的截面面积的最大值为轴截面面积