Question

已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．
（1）若，求当||取最小值时实数t的值；
（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量-和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把a=代入求出向量的坐标，再把转化为=，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出的最小值以及实数t的值；
（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45°=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．
解答：解：（1）因为a=，所以=（），，
则====
所以当时，取到最小值，最小值为．（7分）
（2）由条件得cos45°=，
又因为==，==，
（）（）=5-t，则有=，且t＜5，
整理得t²+5t-5=0，所以存在t=满足条件．（14分）
点评：本题主要考查数量积表示两个向量的夹角以及向量的模．本题的易错点在于（）（）=5-t中的t＜5，因为两个向量的夹角为锐角，所以向量的数量积为正得t＜5．