题目内容
已知向量
=（1，2），
=（sinθ，cosθ），θ∈（0，π）．
（1）若
∥
，求sinθ及cosθ；
（2）若
⊥
，求tan2θ．
| a |
| b |
（1）若
| a |
| b |
（2）若
| a |
. |
| b |
分析：（1）根据向量平行的坐标表达式建立关于θ的等式，化简可得cosθ=2sinθ，结合平方关系算出sin2θ=
，最后根据θ的取值范围是（0，π）得sinθ=
，代入前面关系式可得cosθ=
．
（2）根据向量平行的坐标表达式建立关于θ的等式，化简可得tanθ=-2，再由二倍角的正切公式加以计算，即可得到的tan2θ值．
| 1 |
| 5 |
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
（2）根据向量平行的坐标表达式建立关于θ的等式，化简可得tanθ=-2，再由二倍角的正切公式加以计算，即可得到的tan2θ值．
解答：解：（1）∵
=（1，2），
=（sinθ，cosθ），
∴当
∥
时，1×cosθ=2×sinθ，即cosθ=2sinθ
又∵cos2θ+sin2θ=1，
∴4sin2θ+sin2θ=1，可得sin2θ=
∵θ∈（0，π），∴sinθ=
，可得cosθ=
（2）∵
=（1，2），
=（sinθ，cosθ），
∴当
⊥
时，1×sinθ+2×cosθ=0，可得sinθ=-2cosθ
因此，tanθ=
=-2
∴tan2θ=
=
=
．
| a |
| b |
∴当
| a |
| b |
又∵cos2θ+sin2θ=1，
∴4sin2θ+sin2θ=1，可得sin2θ=
| 1 |
| 5 |
∵θ∈（0，π），∴sinθ=
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
（2）∵
| a |
| b |
∴当
| a |
| b |
因此，tanθ=
| sinθ |
| cosθ |
∴tan2θ=
| 2tanθ |
| 1-tan2θ |
| -4 |
| 1-4 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题以平面向量的坐标运算为载体，求三角函数的值．着重考查了平面向量平行、垂直的坐标表达式和同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．
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