题目内容
（2014•泸州一模）已知函数f(x)=
+x+(a-1)lnx+15a，F（x）=-2x3+3（a+2）x2+6x-6a-4a2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 当a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若x=1时，函数F（x）有极值，求函数F（x）图象的对称中心坐标；
（Ⅲ）设函数g（x）=
（e是自然对数的底数），是否存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．
| a |
| x |
（Ⅰ） 当a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若x=1时，函数F（x）有极值，求函数F（x）图象的对称中心坐标；
（Ⅲ）设函数g（x）=
|
分析：（Ⅰ） 当a=-2，对f（x）求导数f′（x），令f'（x）＞0，解得f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）由F（x）在x=-1时有极值，得F'（-1）=0，求出a的值，从而得F（x）的解析式，求出F（x）图象的对称中心；
（Ⅲ）假设结论成立，设h1（x）=F（x）-6x2+6（a-1）x•ex，h2（x）=e•f（x），则h1（x）在[a，1]上为减函数，h2（x）在[1，-a]上为减函数，且h1（1）≥h2（1），求出a的取值范围．
（Ⅱ）由F（x）在x=-1时有极值，得F'（-1）=0，求出a的值，从而得F（x）的解析式，求出F（x）图象的对称中心；
（Ⅲ）假设结论成立，设h1（x）=F（x）-6x2+6（a-1）x•ex，h2（x）=e•f（x），则h1（x）在[a，1]上为减函数，h2（x）在[1，-a]上为减函数，且h1（1）≥h2（1），求出a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ） 当a=-2，f（x）=-
+x-3lnx-30（x＞0）∴f′(x)=
+1-
=
，
设f'（x）＞0，即x2-3x+2＞0，
所以x＜1，或x＞2，
∴f（x）单调增区间是（0，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）∵F（x）=-2x3+3（a+2）x2+6x-6a-4a2，当x=1时，函数F（x）有极值，
∴F'（x）=-6x2+6（a+2）x+6，
且F'（1）=0，即a=-2，
∴F（x）=-2x3+6x-4，
又F（x）=-2x3+6x-4的图象可由F1(x)=-2x3+6x的图象向下平移4个单位长度得到，而F1(x)=-2x3+6x的图象关于（0，0）对称，
所以F（x）=-2x3+6x-4的图象的对称中心坐标为（0，-4）；
（Ⅲ）假设存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，
设h1（x）=F（x）-6x2+6（a-1）x•ex，h2(x)=e•f(x)=e•(
+x+(a-1)lnx+15a)，
h′1(x)=(-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2)•ex，
设m（x）=（-2x3+3（a-2）x2+12ax-4a2），
当g（x）在[a，-a]上为减函数，则h1（x）在[a，1]上为减函数，h2（x）在[1，-a]上为减函数，且h1（1）≥h2（1）．
由（Ⅰ）知当a＜-1时，f（x）的单调减区间是（1，-a），
由h1（1）≥h2（1）得：4a2+13a+3≤0，
解得：-3≤a≤-
，
当h1（x）在[a，1]上为减函数时，对于?x∈[a，1]，h'1（x）≤0即m（x）≤0恒成立，
因为m'（x）=-6（x+2）（x-a），
（1）当a＜-2时，m（x）在[a，-2]上是增函数，在（-∞，a]，[-2，+∞）是减函数，
所以m（x）在[a，1]上最大值为m（-2）=-4a2-12a-8，
故m（-2）=-4a2-12a-8≤0，
即a≤-2，或a≥-1，故a＜-2；
（2）当a＞-2时，m（x）在[-2，a]上是增函数，在（-∞，-2]，[a，+∞）是减函数，
所以m（x）在[a，1]上最大值为m（a）=a2（a+2），
故m（a）=a2（a+2）≤0，则a≤-2与题设矛盾；
（3）当a=-2时，m（x）在[-2，1]上是减函数，
所以m（x）在[a，1]上最大值为m（-2）=-4a2-12a-8=0，
综上所述，符合条件的a满足[-3，-2]．
| 2 |
| x |
| 2 |
| x2 |
| 3 |
| x |
| x2-3x+2 |
| x2 |
设f'（x）＞0，即x2-3x+2＞0，
所以x＜1，或x＞2，
∴f（x）单调增区间是（0，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）∵F（x）=-2x3+3（a+2）x2+6x-6a-4a2，当x=1时，函数F（x）有极值，
∴F'（x）=-6x2+6（a+2）x+6，
且F'（1）=0，即a=-2，
∴F（x）=-2x3+6x-4，
又F（x）=-2x3+6x-4的图象可由F1(x)=-2x3+6x的图象向下平移4个单位长度得到，而F1(x)=-2x3+6x的图象关于（0，0）对称，
所以F（x）=-2x3+6x-4的图象的对称中心坐标为（0，-4）；
（Ⅲ）假设存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，
设h1（x）=F（x）-6x2+6（a-1）x•ex，h2(x)=e•f(x)=e•(
| a |
| x |
h′1(x)=(-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2)•ex，
设m（x）=（-2x3+3（a-2）x2+12ax-4a2），
当g（x）在[a，-a]上为减函数，则h1（x）在[a，1]上为减函数，h2（x）在[1，-a]上为减函数，且h1（1）≥h2（1）．
由（Ⅰ）知当a＜-1时，f（x）的单调减区间是（1，-a），
由h1（1）≥h2（1）得：4a2+13a+3≤0，
解得：-3≤a≤-
| 1 |
| 4 |
当h1（x）在[a，1]上为减函数时，对于?x∈[a，1]，h'1（x）≤0即m（x）≤0恒成立，
因为m'（x）=-6（x+2）（x-a），
（1）当a＜-2时，m（x）在[a，-2]上是增函数，在（-∞，a]，[-2，+∞）是减函数，
所以m（x）在[a，1]上最大值为m（-2）=-4a2-12a-8，
故m（-2）=-4a2-12a-8≤0，
即a≤-2，或a≥-1，故a＜-2；
（2）当a＞-2时，m（x）在[-2，a]上是增函数，在（-∞，-2]，[a，+∞）是减函数，
所以m（x）在[a，1]上最大值为m（a）=a2（a+2），
故m（a）=a2（a+2）≤0，则a≤-2与题设矛盾；
（3）当a=-2时，m（x）在[-2，1]上是减函数，
所以m（x）在[a，1]上最大值为m（-2）=-4a2-12a-8=0，
综上所述，符合条件的a满足[-3，-2]．
点评：本题考查了利用导数的正负判定函数的单调性以及根据函数的单调性研究函数的极值问题，也考查了分段函数的单调性问题，是较难的题目．
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