Question

若数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别是a_n=（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁰•a，bn=2+

(-1)n+2011

n

，且a_n＜b_n对任意n∈N^*恒成立，则常数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题中已知条件先求出数列{a_n}，{b_n}的规律，然后令（a_n）max＜（b_n）min即可求出a的取值范围．

解答：解：数列{a_n}的通项公式是a_n=（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁰•a=（-1）ⁿ•a，
∴数列{a_n}为-a，a，-a，a，-a，a，…，-a，a，…
数列{b_n}的通项公式为bn=2+

(-1)n+2011

n

=2+

(-1)n+1

n

，
∴数列{b_n}为2+1，2-

1

2

，2+

1

3

，2-

1

4

，…，2+

(-1)n+1

n

，…
要想使a_n＜b_n对任意n∈N^*恒成立，则（a_n）max＜（b_n）min，
当a＞0时则有a＜2-

1

2

，即a＜

3

2

，
当a＜0时，则有-a≤2，即a≥-2，
则a的取值范围为-2≤a＜

3

2

，
故答案为[-2，

3

2

）．

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题