Question

对于数列{u_n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N⁺，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M则称数列{u_n}为B-数列。
（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由；
（2）设S_n是数列{x_n}的前n项和，给出下列两组判断：
A组：①数列{x_n}是B-数列；②数列{x_n}不是B-数列
B组：③数列{S_n}是B-数列；④数列{S_n}不是B-数列
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列{a_n}是B-数列，证明：数列{a_n²}也是B-数列。

Answer 1

解：（1）设满足题设的等比数列为
则
于是
|-|+|-|+…+|-|
=
=3×＜3
所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列。
（2）命题1：若数列{}是B-数列，则数列{S_n}是B-数列
此命题为假命题
事实上设=1，n∈N，
易知数列{}是B-数列，但S_n=n，
|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n
由n的任意性知，数列{S_n}不是B-数列。
命题2：若数列{S_n}是B-数列，则数列{}是B-数列。
此命题为真命题。
事实上，因为数列{S_n}是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N，
有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M
即
于是

所以数列是数列。
（3）数列是数列，则存在正数M，对任意的有

因为
 
设，则有

因此
故数列是数列。