题目内容
对于数列{un}若存在常数M＞0，对任意的n∈N+，恒有|un+1-un|+|un-un1|+…+|u2-u1|≤M则称数列un为B-数列（1）首项为1，公比为
的等比数列是否为B-数列？请说明理由；（2）设sn是数列{xn}的前n项和，给出下列两组判断：
A组：①数列{xn}是B-数列． ②数列{xn}不是B-数列．
B组 ③数列{sn}是B-数列． ④数列{sn}不是B-数列
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列{an}是B-数列，证明：数列{an2}也是B-数列．
【答案】分析：（1）根据B-数列的定义，首项为1，公比为q=
的等比数列，验证|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M即可；
（2）首项写出两个命题，根据B-数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；
（3）数列{an}都是B-数列，则有|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M1下面只需验证|an+12-an2|+|an2-an-12|+…+|a22-a12|≤M．
解答：解：（1）设满足题设的等比数列为an，
则
．
于是
n≥2
|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|
=
=
，所以首项为1，公比为-
的等比数列是B-数列．
（2）命题1：若数列xn是B-数列，
则数列Sn是B-数列．此命题为假命题．
事实上设xn=1（n∈N*），易知数列xn是B-数列，但Sn=n，
|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|=n．
由n的任意性知，数列Sn不是B-数列．
命题2：若数列Sn是B-数列，
则数列xn不是B-数列．此命题为真命题．
事实上，因为数列Sn是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N*，
有|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M，
即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M．
于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+…+|x2-x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|，
所以数列xn是B-数列．
（3）若数列是{an}B-数列，则存在正数M，对任意的n∈N*有
|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M
因为|an|=|an-an-1+an-1+an-2+…+a2-a1+a1|≤|an-an-1|+|an-1-an-2|+…+|a2-a1|+|a1|≤M+|a1|
记K=M+|a1|，则有|an+12-an2|=|（an+1+an）（an+1-an）
≤（|an+1|+|an|）|an+1-an|≤2K|an+1-an|
因此|an+12-an2|+|an2-an-12|+…+|a22-a12|≤2KM
故数列{an2}是B-数列．
点评：考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想，属难题．
的等比数列，验证|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M即可；（2）首项写出两个命题，根据B-数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；
（3）数列{an}都是B-数列，则有|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M1下面只需验证|an+12-an2|+|an2-an-12|+…+|a22-a12|≤M．
解答：解：（1）设满足题设的等比数列为an，
则
．于是
n≥2|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|
=
=
，所以首项为1，公比为-的等比数列是B-数列．（2）命题1：若数列xn是B-数列，
则数列Sn是B-数列．此命题为假命题．
事实上设xn=1（n∈N*），易知数列xn是B-数列，但Sn=n，
|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|=n．
由n的任意性知，数列Sn不是B-数列．
命题2：若数列Sn是B-数列，
则数列xn不是B-数列．此命题为真命题．
事实上，因为数列Sn是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N*，
有|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M，
即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M．
于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+…+|x2-x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|，
所以数列xn是B-数列．
（3）若数列是{an}B-数列，则存在正数M，对任意的n∈N*有
|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M
因为|an|=|an-an-1+an-1+an-2+…+a2-a1+a1|≤|an-an-1|+|an-1-an-2|+…+|a2-a1|+|a1|≤M+|a1|
记K=M+|a1|，则有|an+12-an2|=|（an+1+an）（an+1-an）
≤（|an+1|+|an|）|an+1-an|≤2K|an+1-an|
因此|an+12-an2|+|an2-an-12|+…+|a22-a12|≤2KM
故数列{an2}是B-数列．
点评：考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想，属难题．
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