Question

15．已知函数f（x）=lnx-ax+$\frac{2}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，可得切线的斜率，即可求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，则g（x）=ax²-x+2在（0，+∞）2个解，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x+$\frac{2}{x}$，
∴f（1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{-x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=-2，
∴切线方程为y-1=-2（x-1），
即2x+y-3=0；
（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{-（{ax}^{2}-x+2）}{{\;}^{2x}}$，
若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，
则g（x）=ax²-x+2在（0，+∞）2个解，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△=1-8a＞0}\\{{x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题以及导数的应用，是一道基础题．